כותרת: מה עבר בראשו של גאוס? על שברים משולבים, מערכות דינמיות ו"השראה"
תקציר: "שברים משולבים" (continued fractions) הם טכניקה פשוטה לקרב מספרים ממשיים באמצעות מספרים רציונליים. הם נחקרו בתחילת המאה ה-19 על ידי גאוס, המלך של תורת המספרים, שמצא בהם תופעות יפות ומפתיעות. לא ברור לנו כיצד הוא הצליח לעשות זאת בלי שימוש בכלים מודרניים יותר.
מרצה: אסף שחר
כותרת: קשיחות בגיאומטריה או: כשניסים קורים
תקציר:
קשיחות (Rigidity) היא מצב שבו לאובייקט מסוים יש תכונה "טובה" יותר מזו שניתן היה לצפות לה מלכתחילה, או לחילופין מצב בו האובייקט נקבע לחלוטין על ידי פחות אינפורמציה ממה שהיינו מצפים.
בהרצאה הזו נדבר על קשיחות בגיאומטריה.
תחילה נדון בקשרים (מפתיעים!) בין טופלוגיה לגיאומטריה, ולאחר מכן נעסוק בעיקר בקשיחות גיאומטרית של העתקות.
נתחיל ממשפט קלאסי של ליוביל שקובע שהעתקה שהדיפרנציאל שלה בכל נקודה היא סיבוב היא בעצמה סיבוב ואז נעבור לדבר על גרסאות "כמותיות" יותר שלו. אם יהיה זמן נאמר גם משהו על הכללות ליריעות רימניות.
Abstract: In geometry and combinatorics we are interested in “finite objects”, which are either Riemannian manifolds with finite volume or finite complexes. One way to construct such objects is to take a nice covering space X, and divide it by a discrete subgroup \Gamma. For example, by dividing X=R by \Gamma=Z we get the circle S^1. A far more general case is when we divide a symmetric space X associated with a semisimple Lie group G by an "arithmetic subgroup" \Gamma, for example G=SLn(R), \Gamma=SLn(Z).
כותרת: מה הקשר בין גרפים מרחיבים לבין מידות אינוריאנטיות על S^n?
תקציר: מידת לבג על הספירה S^n היא סיגמא-אדיטיבית ואינוריאנטית לסיבובים, וזה מאפיין אותה לחלוטין מבין המידות (המנורמלות) על S^n המוגדרות על כל הקבוצות המדידות-לבג. בעית בנך-רוזייביץ', מתחילת שנות ה-20, שואלת: מה לגבי מידות סוף-אדיטיביות? האם מידת לבג היא עדיין היחידה? בשנת 1923, בנך נתן תשובה שלילית למקרה של המעגל S^1. מה לגבי n\geq2? טרסקי עשה את הצעד הראשון לקראת הפתרון (בעזרת פרדוקס בנך-טרסקי!).
מרצה: שי אברה
כותרת: בעיות קלאסיות במספרים הראשוניים
תקציר:
המספרים הראשוניים הם מהמושגים המתמטיים העתיקים ביותר, והם היו ידועים כבר ליוונים ולמצרים הקדמונים.
עם זאת, אנחנו עדיין לא יודעים לענות על הרבה מהשאלות הבסיסיות והעתיקות ביותר לגביהם, לדוגמה:
- האם כל מספר מספר זוגי גדול מ 2 הוא סכום של שני ראשוניים?
- האם ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים עם הפרש 2 ?
בהרצאה זו ניתן סקירה קצרה של כמה מהכלים והתוצאות המודרניות המכוונות לפתור שאלות אלה ואחרות.
Title: The polynomial method in combinaotrics
(I) Let q be a prime and n an integer. How small can a subset of the vector space (F_q)^n be if it contains a line in every direction?
(II) Let n be a large integer. How large can a subset of (F_3)^n be if it contains no solution to the equation x+y+z=0?
Several important problems in extermal combinaotrics were solved in recent years by introducing polynomials into the problem in a clever way. In many cases, this approach produces incredibly simple and elegant proofs that rely on no more than standard linear algebra.
כותרת: וכעת, למשהו אי-קשיר לחלוטין
חבורה טופולוגית נקראת פרו-סופית אם היא קומפקטית, האוסדורף ואי-קשירה לחלוטין. בהינתן חבורה G, ניתן לזהות שהיא פרו-סופית ע"י מתן סדרה של חבורות סופיות, המהוות במובן מסויים "קירובים הולכים ומשתפרים" עבור G. כאשר מציגים את המושג, דואגים לרוב להסתיר איפיון זה, על-מנת להבטיח שהסטודנטים לא יוכלו בשום אופן להבין על מה מדובר, וכך יתחשלו ויהפכו למתמטיקאים טובים יותר. לעתים מתעקשים בכל זאת להציג את האיפיון, אך מקפידים לפחות על אי-נהירות ההוכחה, כדי להשאיר מעט מן הבלבול והתסכול החשובים כל-כך למתמטיקאים בתחילת דרכם.
כותרת: תורת הקוונטים למתמטיקאי המצוי
תקציר: בשנת 1926 דירק הציג בעבודת הדוקטורט שלו בסיס מתמטי לתורת הקוונטים על סמך אנליזה פונקציונלית.
נתאר בקצרה את המכניקה ההמילטונית הקלאסית, ונציג את הבסיס המתמטי עבור המכניקה הקוונטית והקשר בינה לקלאסית. אם ישאר זמן נראה את עקרון אי הוודאות של הייזנברג.
לא אניח ידע מוקדם באנליזה פונקציונלית, אך לא יזיק לקרוא קצת מראש את ההגדרות של מרחבי הילברט, אופרטורים קומפקטים ואת המשפט הספקטרלי
