Date:
Wed, 06/12/201710:00-11:00
כותרת: מה עבר בראשו של גאוס? על שברים משולבים, מערכות דינמיות ו"השראה"
תקציר: "שברים משולבים" (continued fractions) הם טכניקה פשוטה לקרב מספרים ממשיים באמצעות מספרים רציונליים. הם נחקרו בתחילת המאה ה-19 על ידי גאוס, המלך של תורת המספרים, שמצא בהם תופעות יפות ומפתיעות. לא ברור לנו כיצד הוא הצליח לעשות זאת בלי שימוש בכלים מודרניים יותר.
מה עבר לגאוס בראש כנראה לעולם לא נדע, אבל נוכל להראות תוצאה יפה של גאוס: אחוז המופעים של הספרה k בפיתוח של כמעט כל x לשבר משולב הוא \small \frac{1}{\log2}\cdot\log\left(1+\frac{1}{k\left(k+2\right)}\right). כך למשל הפרופורציה של הופעת הספרה 1 היא גדולה מאוד, 0.42, והפרופורציה של הופעת הספרה 100 קטנה למדי, 0.001.
כדי להראות זאת ניעזר בתורה של מערכות דינמיות. נציג בנייה שנקראת "השראה" (Inducing) שתאפשר לנו לזהות את השברים המשולבים כמערכת דינמית. נסביר על המשפט הארגודי של בירקהוף, ובאמצעותו נסיק את התוצאה של גאוס.
כדי להדגים את הכוח של השראה, נראה כיצד להשתמש בה כדי להסיק הכללה יפה של המשפט הארגודי של בירקהוף, שנקראת "המשפט הארגודי היחסי", ונדבר על הקשר לתוצאות נוספות על אודות שברים משולבים.
Time&Place: Wednesday 22.11.17 at 9:45 in Ross 70A class
Speaker: Nachi Avraham
Title: What did Gauss have in his mind? Regarding continued fractions, dynamical systems and "inducing"
Abstract: "Continued fractions" is a simple technique to approximate real numbers by rational numbers. The research goes back to the early 19th century when Gauss, the king of number theory, found beautiful and surprising results in the field. It's not clear to us how he did this without using modern tools.
We will probably never know what Gauss had in his mind, but still we are able to show a beautifull result of his: The percentage of appearances of the digit k in the continued fraction representation of almost every real number is \small \frac{1}{\log2}\cdot\log\left(1+\frac{1}{k\left(k+2\right)}\right). For instance, the proportion of the digit 1 is quite large, 0.42, while the proportion of the digit 100 is much smaller, 0.001.
To show this result we will use the theory of dynamical systems. We will introduce a construction called "Inducing", which allows us to identify the continued fractions as a dynamical system. It will be followed by an explanation about Birkhoff's Ergodic Theorem, and using this Gauss's result will be proven.
As a demonstration of the power of inducing it will be shown how to use it to generalize Birkhoff's ergodic theorem to a beautifull version called "The Ratio Ergodic Theorem", and we will mention the connection to further results about continued fractions.
The talk will be given in English (unless the audience agrees unanimously otherwise).
תקציר: "שברים משולבים" (continued fractions) הם טכניקה פשוטה לקרב מספרים ממשיים באמצעות מספרים רציונליים. הם נחקרו בתחילת המאה ה-19 על ידי גאוס, המלך של תורת המספרים, שמצא בהם תופעות יפות ומפתיעות. לא ברור לנו כיצד הוא הצליח לעשות זאת בלי שימוש בכלים מודרניים יותר.
מה עבר לגאוס בראש כנראה לעולם לא נדע, אבל נוכל להראות תוצאה יפה של גאוס: אחוז המופעים של הספרה k בפיתוח של כמעט כל x לשבר משולב הוא \small \frac{1}{\log2}\cdot\log\left(1+\frac{1}{k\left(k+2\right)}\right). כך למשל הפרופורציה של הופעת הספרה 1 היא גדולה מאוד, 0.42, והפרופורציה של הופעת הספרה 100 קטנה למדי, 0.001.
כדי להראות זאת ניעזר בתורה של מערכות דינמיות. נציג בנייה שנקראת "השראה" (Inducing) שתאפשר לנו לזהות את השברים המשולבים כמערכת דינמית. נסביר על המשפט הארגודי של בירקהוף, ובאמצעותו נסיק את התוצאה של גאוס.
כדי להדגים את הכוח של השראה, נראה כיצד להשתמש בה כדי להסיק הכללה יפה של המשפט הארגודי של בירקהוף, שנקראת "המשפט הארגודי היחסי", ונדבר על הקשר לתוצאות נוספות על אודות שברים משולבים.
Time&Place: Wednesday 22.11.17 at 9:45 in Ross 70A class
Speaker: Nachi Avraham
Title: What did Gauss have in his mind? Regarding continued fractions, dynamical systems and "inducing"
Abstract: "Continued fractions" is a simple technique to approximate real numbers by rational numbers. The research goes back to the early 19th century when Gauss, the king of number theory, found beautiful and surprising results in the field. It's not clear to us how he did this without using modern tools.
We will probably never know what Gauss had in his mind, but still we are able to show a beautifull result of his: The percentage of appearances of the digit k in the continued fraction representation of almost every real number is \small \frac{1}{\log2}\cdot\log\left(1+\frac{1}{k\left(k+2\right)}\right). For instance, the proportion of the digit 1 is quite large, 0.42, while the proportion of the digit 100 is much smaller, 0.001.
To show this result we will use the theory of dynamical systems. We will introduce a construction called "Inducing", which allows us to identify the continued fractions as a dynamical system. It will be followed by an explanation about Birkhoff's Ergodic Theorem, and using this Gauss's result will be proven.
As a demonstration of the power of inducing it will be shown how to use it to generalize Birkhoff's ergodic theorem to a beautifull version called "The Ratio Ergodic Theorem", and we will mention the connection to further results about continued fractions.
The talk will be given in English (unless the audience agrees unanimously otherwise).