מרצה: יתיר הלוי
כותרת: למה ל-{e^{-x^2 אין פונקציה קדומה אלמנטרית?
תקציר:
במהלך התואר הראשון מבקשים מאתנו להאמין בכל מיני אמיתות מתמטיות (לא כולן קשות) אך לא תמיד מספקים לנו הוכחה. בין השאר, הבנייה של המספרים הממשיים באינפי 1, אי קיום פונקציה קדומה לפונקציות מסוימות ותורת הקבוצות הנאיבית.
נוכיח, עד כדי כמה פרטים טכנים, את אי-הקיום של פונקציה קדומה אלמנטרית ל-{e^{-x^2, הדגש יהיה על ההגדרות והניסוח הנכון לשאלה.
נשתמש ברעיונות אלה כדי לתת הקדמה לתורת גלואה הדיפרנציאלית, מה היא יכולה להגיד על פתרונות למשוואות דיפרנציאליות ואיך כל זה קשור לכותרת ההרצאה.
כותרת: "מהו מרחב כל המרחבים הוקטוריים?" או "אגדים וקטוריים והמרחב שממיין אותם"
תקציר: לכל נקודה ביריעה חלקה ממימד n (כמו S^n) יש "מרחב משיק" שהוא מרחב וקטורי ממשי ממימד n. אוסף כל המרחבים המשיקים הללו יחד מהווה מרחב טופולוגי בפני עצמו שנקרא "האגד המשיק" של היריעה. באופן יותר כללי, בהינתן מרחב טופולוגי X, אגד וקטורי על X הוא התאמה של מרחב וקטורי לכל נקודה ב-X בצורה שמשתנה באופן "רציף" לאורך X (ליתר דיוק, זו הגדרה פורמלית של הרעיון הזה).
Title: The polynomial method in combinaotrics
(I) Let q be a prime and n an integer. How small can a subset of the vector space (F_q)^n be if it contains a line in every direction?
(II) Let n be a large integer. How large can a subset of (F_3)^n be if it contains no solution to the equation x+y+z=0?
Several important problems in extermal combinaotrics were solved in recent years by introducing polynomials into the problem in a clever way. In many cases, this approach produces incredibly simple and elegant proofs that rely on no more than standard linear algebra.
כותרת: כמה כדורים אתה עושה? ובכמה אופנים שונים?
תקציר: להטוט כדורים, או ג'אגלינג, היה קיים בתרבויות שונות כבר לפני אלפי שנים. אולם החוקרים מאמינים שברוב המוחלט של המקרים הלהטוטנים כולם עקבו אחרי מספר מאד מצומצם של תבניות. בשלב כלשהו במחצית השניה של המאה העשרים ג'אגלינג הפך להיות תחביב של אנשים רבים ברחבי העולם, וכתוצאה מכך התחום השתנה והתפתח מאד. בפרט, ג'אגלרים שונים גילו שאפשר לזרוק ולתפוס את הכדורים בהרבה סדרים שונים.
Abstract: Let G be a finite abelian group. We say that a given subset of G is uniform if all of its Fourier coefficients are small. We'll show that uniform sets are common and explore some of their nice additive properties.
כותרת: בנייה ומנייה באמצעות השיטה ההסתברותית
תקציר:
שתיים מהשאלות הבסיסיות של המתמטיקאי הטיפוסי הן "האם קיים?" ו"כמה יש?". בהרצאה זו נציג מבוא לשיטה ההסתברותית, שלעתים קרובות מספקת תשובות לשאלות אלה. לאחר הצגת המושגים הבסיסיים נלמד את השיטה דרך דוגמאות:
קיום של גרפים ללא תת-גרף שלם גדול וללא קבוצה בלתי תלויה גדולה:
בהנתן גרף, תת-גרף שלם שלו הינו תת-קבוצה של קודקודים כך שכל הצלעות ביניהם נמצאים בגרף, וקבוצה בלתי תלויה היא תת-קבוצה של הקודקודים ביניהם אין אף צלע.
במאמר שהכניס את השימוש בהסתברות לקומבינטוריקה, פאול ארדש הוכיח שאם בוחרים גרף עם
