Title: Large sparse networks, graph limits and group theory Abstract:

כותרת: וכעת, למשהו אי-קשיר לחלוטין חבורה טופולוגית נקראת פרו-סופית אם היא קומפקטית, האוסדורף ואי-קשירה לחלוטין. בהינתן חבורה G, ניתן לזהות שהיא פרו-סופית ע"י מתן סדרה של חבורות סופיות, המהוות במובן מסויים "קירובים הולכים ומשתפרים" עבור G. כאשר מציגים את המושג, דואגים לרוב להסתיר איפיון זה, על-מנת להבטיח שהסטודנטים לא יוכלו בשום אופן להבין על מה מדובר, וכך יתחשלו ויהפכו למתמטיקאים טובים יותר. לעתים מתעקשים בכל זאת להציג את האיפיון, אך מקפידים לפחות על אי-נהירות ההוכחה, כדי להשאיר מעט מן הבלבול והתסכול החשובים כל-כך למתמטיקאים בתחילת דרכם.

כותרת: תורת הקוונטים למתמטיקאי המצוי תקציר: בשנת 1926 דירק הציג בעבודת הדוקטורט שלו בסיס מתמטי לתורת הקוונטים על סמך אנליזה פונקציונלית. נתאר בקצרה את המכניקה ההמילטונית הקלאסית, ונציג את הבסיס המתמטי עבור המכניקה הקוונטית והקשר בינה לקלאסית. אם ישאר זמן נראה את עקרון אי הוודאות של הייזנברג. לא אניח ידע מוקדם באנליזה פונקציונלית, אך לא יזיק לקרוא קצת מראש את ההגדרות של מרחבי הילברט, אופרטורים קומפקטים ואת המשפט הספקטרלי ‏האירוע הזה כולל שיחת וידאו ב-Google Hangouts.

כותרת: מה עבר בראשו של גאוס? על שברים משולבים, מערכות דינמיות ו"השראה" תקציר: "שברים משולבים" (continued fractions) הם טכניקה פשוטה לקרב מספרים ממשיים באמצעות מספרים רציונליים. הם נחקרו בתחילת המאה ה-19 על ידי גאוס, המלך של תורת המספרים, שמצא בהם תופעות יפות ומפתיעות. לא ברור לנו כיצד הוא הצליח לעשות זאת בלי שימוש בכלים מודרניים יותר.

כותרת: להעביר פחם ממכרות למפעלים, ולהוכיח את האי-שיוויון האיזופרימטרי בדרך תקציר: נניח שיש לנו מכרות פחם שמפוזרים ברחבי הארץ, ומפעלים שצורכים את הפחם שהם מייצרים. אנחנו רוצים להעביר את הפחם הזה בצורה שתמזער את עלות השינוע. כיצד נעשה זאת? הבעייה הזו הוצגה ב-1781 ע״י Monge, והיא ידועה בתור בעיית ההובלה המיטבית (optimal transport). באופן מפתיע, בבסיסה עומדת תורה מתמטית עשירה שמתפרשת הרחק מתחומי הכלכלה -- לרבות שימושים עכשוויים בענפים שונים של גיאומטריה, משוואות דיפרנציאליות ומערכות דינמיות.

Abstract: In geometry and combinatorics we are interested in “finite objects”, which are either Riemannian manifolds with finite volume or finite complexes. One way to construct such objects is to take a nice covering space X, and divide it by a discrete subgroup \Gamma. For example, by dividing X=R by \Gamma=Z we get the circle S^1. A far more general case is when we divide a symmetric space X associated with a semisimple Lie group G by an "arithmetic subgroup" \Gamma, for example G=SLn(R), \Gamma=SLn(Z).

Title: Bernoulli convolutions and Erdős's argument for singularity

מרצה: יתיר הלוי כותרת: למה ל-{e^{-x^2 אין פונקציה קדומה אלמנטרית? תקציר: במהלך התואר הראשון מבקשים מאתנו להאמין בכל מיני אמיתות מתמטיות (לא כולן קשות) אך לא תמיד מספקים לנו הוכחה. בין השאר, הבנייה של המספרים הממשיים באינפי 1, אי קיום פונקציה קדומה לפונקציות מסוימות ותורת הקבוצות הנאיבית. נוכיח, עד כדי כמה פרטים טכנים, את אי-הקיום של פונקציה קדומה אלמנטרית ל-{e^{-x^2, הדגש יהיה על ההגדרות והניסוח הנכון לשאלה. נשתמש ברעיונות אלה כדי לתת הקדמה לתורת גלואה הדיפרנציאלית, מה היא יכולה להגיד על פתרונות למשוואות דיפרנציאליות ואיך כל זה קשור לכותרת ההרצאה.

כותרת: "מהו מרחב כל המרחבים הוקטוריים?" או "אגדים וקטוריים והמרחב שממיין אותם" תקציר: לכל נקודה ביריעה חלקה ממימד n (כמו S^n) יש "מרחב משיק" שהוא מרחב וקטורי ממשי ממימד n. אוסף כל המרחבים המשיקים הללו יחד מהווה מרחב טופולוגי בפני עצמו שנקרא "האגד המשיק" של היריעה. באופן יותר כללי, בהינתן מרחב טופולוגי X, אגד וקטורי על X הוא התאמה של מרחב וקטורי לכל נקודה ב-X בצורה שמשתנה באופן "רציף" לאורך X (ליתר דיוק, זו הגדרה פורמלית של הרעיון הזה).