כותרת: תורת הקוונטים למתמטיקאי המצוי
תקציר: בשנת 1926 דירק הציג בעבודת הדוקטורט שלו בסיס מתמטי לתורת הקוונטים על סמך אנליזה פונקציונלית.
נתאר בקצרה את המכניקה ההמילטונית הקלאסית, ונציג את הבסיס המתמטי עבור המכניקה הקוונטית והקשר בינה לקלאסית. אם ישאר זמן נראה את עקרון אי הוודאות של הייזנברג.
לא אניח ידע מוקדם באנליזה פונקציונלית, אך לא יזיק לקרוא קצת מראש את ההגדרות של מרחבי הילברט, אופרטורים קומפקטים ואת המשפט הספקטרלי
כותרת: מה עבר בראשו של גאוס? על שברים משולבים, מערכות דינמיות ו"השראה"
תקציר: "שברים משולבים" (continued fractions) הם טכניקה פשוטה לקרב מספרים ממשיים באמצעות מספרים רציונליים. הם נחקרו בתחילת המאה ה-19 על ידי גאוס, המלך של תורת המספרים, שמצא בהם תופעות יפות ומפתיעות. לא ברור לנו כיצד הוא הצליח לעשות זאת בלי שימוש בכלים מודרניים יותר.
כותרת: להעביר פחם ממכרות למפעלים, ולהוכיח את האי-שיוויון האיזופרימטרי בדרך
תקציר:
נניח שיש לנו מכרות פחם שמפוזרים ברחבי הארץ, ומפעלים שצורכים את הפחם שהם מייצרים. אנחנו רוצים להעביר את הפחם הזה בצורה שתמזער את עלות השינוע. כיצד נעשה זאת?
הבעייה הזו הוצגה ב-1781 ע״י Monge, והיא ידועה בתור בעיית ההובלה המיטבית (optimal transport). באופן מפתיע, בבסיסה עומדת תורה מתמטית עשירה שמתפרשת הרחק מתחומי הכלכלה -- לרבות שימושים עכשוויים בענפים שונים של גיאומטריה, משוואות דיפרנציאליות ומערכות דינמיות.
Abstract: In geometry and combinatorics we are interested in “finite objects”, which are either Riemannian manifolds with finite volume or finite complexes. One way to construct such objects is to take a nice covering space X, and divide it by a discrete subgroup \Gamma. For example, by dividing X=R by \Gamma=Z we get the circle S^1. A far more general case is when we divide a symmetric space X associated with a semisimple Lie group G by an "arithmetic subgroup" \Gamma, for example G=SLn(R), \Gamma=SLn(Z).
מרצה: יתיר הלוי
כותרת: למה ל-{e^{-x^2 אין פונקציה קדומה אלמנטרית?
תקציר:
במהלך התואר הראשון מבקשים מאתנו להאמין בכל מיני אמיתות מתמטיות (לא כולן קשות) אך לא תמיד מספקים לנו הוכחה. בין השאר, הבנייה של המספרים הממשיים באינפי 1, אי קיום פונקציה קדומה לפונקציות מסוימות ותורת הקבוצות הנאיבית.
נוכיח, עד כדי כמה פרטים טכנים, את אי-הקיום של פונקציה קדומה אלמנטרית ל-{e^{-x^2, הדגש יהיה על ההגדרות והניסוח הנכון לשאלה.
נשתמש ברעיונות אלה כדי לתת הקדמה לתורת גלואה הדיפרנציאלית, מה היא יכולה להגיד על פתרונות למשוואות דיפרנציאליות ואיך כל זה קשור לכותרת ההרצאה.
כותרת: "מהו מרחב כל המרחבים הוקטוריים?" או "אגדים וקטוריים והמרחב שממיין אותם"
תקציר: לכל נקודה ביריעה חלקה ממימד n (כמו S^n) יש "מרחב משיק" שהוא מרחב וקטורי ממשי ממימד n. אוסף כל המרחבים המשיקים הללו יחד מהווה מרחב טופולוגי בפני עצמו שנקרא "האגד המשיק" של היריעה. באופן יותר כללי, בהינתן מרחב טופולוגי X, אגד וקטורי על X הוא התאמה של מרחב וקטורי לכל נקודה ב-X בצורה שמשתנה באופן "רציף" לאורך X (ליתר דיוק, זו הגדרה פורמלית של הרעיון הזה).
Abstract: This talk describes two classes of symbolic topological systems, the odometer based and the circular systems. The odometer based systems are ubiquitous--when equipped with invariant measures they form an upwards closed cone in the space of ergodic transformations (in the pre-ordering induced by factor maps). The circular systems are a small class, but represent the diffeomorphisms of the 2-torus built using the Anosov-Katok technique of approximation by conjugacy.
For fixed t>1 and L>3 we establish sharp asymptotic formula for
the log-probability that the number of cycles of length L in the Erdos - Renyi
random graph G(N,p) exceeds its expectation by a factor t, assuming only that
p >> log N/sqrt(N). In a narrower range of p=p(N) we obtain such sharp upper tail
for general subgraph counts and for the Schatten norms of the corresponding adjacency
matrices.
In this talk, based on a joint work with Nick Cook, I will explain our approach,
Abstract: In Diophantine approximation we are often interested in the Lebesgue and Hausdorff measures of certain $\limsup$ sets. In 2006, Beresnevich and Velani proved a remarkable result --- the Mass Transference Principle --- which allows for the transference of Lebesgue measure theoretic statements to Hausdorff measure theoretic statements for $\limsup$ sets arising from sequences of balls in $\mathbb{R}^k$.
Abstract: We shall try to prove the consistency of d_lambda > r_lambda (and even d_lambda > u_lambda) for a singular cardinal lambda. This is a joint work with Saharon.
This is a continuation of the talk on October 29. After finishing a brief review of basic facts about Berkovich curves, I will associate a reduction datum to differential forms on such curves and explain how a lifting theorem for such data is proved and why it reproves the lifting theorem of [BCGGM].
