Title: The polynomial method in combinaotrics
(I) Let q be a prime and n an integer. How small can a subset of the vector space (F_q)^n be if it contains a line in every direction?
(II) Let n be a large integer. How large can a subset of (F_3)^n be if it contains no solution to the equation x+y+z=0?
Several important problems in extermal combinaotrics were solved in recent years by introducing polynomials into the problem in a clever way. In many cases, this approach produces incredibly simple and elegant proofs that rely on no more than standard linear algebra.
כותרת: כמה כדורים אתה עושה? ובכמה אופנים שונים?
תקציר: להטוט כדורים, או ג'אגלינג, היה קיים בתרבויות שונות כבר לפני אלפי שנים. אולם החוקרים מאמינים שברוב המוחלט של המקרים הלהטוטנים כולם עקבו אחרי מספר מאד מצומצם של תבניות. בשלב כלשהו במחצית השניה של המאה העשרים ג'אגלינג הפך להיות תחביב של אנשים רבים ברחבי העולם, וכתוצאה מכך התחום השתנה והתפתח מאד. בפרט, ג'אגלרים שונים גילו שאפשר לזרוק ולתפוס את הכדורים בהרבה סדרים שונים.
Let G be a graph with oriented edges. One can assign to each edge of G an integer weight. This assignment is a flow if it conserves matter at each vertex, i.e. the sum of weights on the vertex's inward edges is equal to the sum on its outward edges. Can one assign such a flow to G without using 0 as a weight? Collecting all graphs for which such a non-zero flow exists, can you bound the absolute value of the weights you use? What is the best possible bound?
כותרת: בנייה ומנייה באמצעות השיטה ההסתברותית
תקציר:
שתיים מהשאלות הבסיסיות של המתמטיקאי הטיפוסי הן "האם קיים?" ו"כמה יש?". בהרצאה זו נציג מבוא לשיטה ההסתברותית, שלעתים קרובות מספקת תשובות לשאלות אלה. לאחר הצגת המושגים הבסיסיים נלמד את השיטה דרך דוגמאות:
קיום של גרפים ללא תת-גרף שלם גדול וללא קבוצה בלתי תלויה גדולה:
בהנתן גרף, תת-גרף שלם שלו הינו תת-קבוצה של קודקודים כך שכל הצלעות ביניהם נמצאים בגרף, וקבוצה בלתי תלויה היא תת-קבוצה של הקודקודים ביניהם אין אף צלע.
במאמר שהכניס את השימוש בהסתברות לקומבינטוריקה, פאול ארדש הוכיח שאם בוחרים גרף עם
Speaker: Michael Chapman
Title: Pell's Equation
Abstract:Think about the following problems:
Find all natural numbers that are both squares and triangular. Definition of Triangular Number
Find all non-negative integers a such that a+1 and 3a+1 are both perfect squares. Also, prove that if you take the ascending sequence (a_n)_{n=1}^\infty of such numbers, the number a_n \cdot a_{n+1}+1 is also a perfect square.
מרצה: אסף שחר
כותרת: קשיחות בגיאומטריה או: כשניסים קורים
תקציר:
קשיחות (Rigidity) היא מצב שבו לאובייקט מסוים יש תכונה "טובה" יותר מזו שניתן היה לצפות לה מלכתחילה, או לחילופין מצב בו האובייקט נקבע לחלוטין על ידי פחות אינפורמציה ממה שהיינו מצפים.
בהרצאה הזו נדבר על קשיחות בגיאומטריה.
תחילה נדון בקשרים (מפתיעים!) בין טופלוגיה לגיאומטריה, ולאחר מכן נעסוק בעיקר בקשיחות גיאומטרית של העתקות.
כותרת: מה הקשר בין גרפים מרחיבים לבין מידות אינוריאנטיות על S^n?
תקציר: מידת לבג על הספירה S^n היא סיגמא-אדיטיבית ואינוריאנטית לסיבובים, וזה מאפיין אותה לחלוטין מבין המידות (המנורמלות) על S^n המוגדרות על כל הקבוצות המדידות-לבג. בעית בנך-רוזייביץ', מתחילת שנות ה-20, שואלת: מה לגבי מידות סוף-אדיטיביות? האם מידת לבג היא עדיין היחידה? בשנת 1923, בנך נתן תשובה שלילית למקרה של המעגל S^1. מה לגבי n\geq2? טרסקי עשה את הצעד הראשון לקראת הפתרון (בעזרת פרדוקס בנך-טרסקי!).
מרצה: שי אברה
כותרת: בעיות קלאסיות במספרים הראשוניים
תקציר:
המספרים הראשוניים הם מהמושגים המתמטיים העתיקים ביותר, והם היו ידועים כבר ליוונים ולמצרים הקדמונים.
עם זאת, אנחנו עדיין לא יודעים לענות על הרבה מהשאלות הבסיסיות והעתיקות ביותר לגביהם, לדוגמה:
- האם כל מספר מספר זוגי גדול מ 2 הוא סכום של שני ראשוניים?
- האם ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים עם הפרש 2 ?
בהרצאה זו ניתן סקירה קצרה של כמה מהכלים והתוצאות המודרניות המכוונות לפתור שאלות אלה ואחרות.
In the 19th century, Hermann Schwarz studied a differential expression which became known as the "Schwarzian Derivative". Early on, it was discovered that this expression vanishes exactly for Mobius Transformations. That discovery led to many interesting results in 20th century Complex Analysis, which connect the behaviour of a given holomorphic (or meromorphic) function to the geometry of a domain on which it is defined. In this talk we will review some of these results.
